Vektor Mellem To Punkter
I dette afsnit kommer vi ind på det grundlæggende vektorbegreb. En vektor er en pil, der har en længde og en retning. Man betegner oftest vektorer med små bogstaver med en lille pil over. $$\overrightarrow{a}$$ En vektor har to koordinater, der beskriver hvor lang vektoren er i hhv. x-aksens og y-aksens retning. Man skriver koordinaterne i en søjle med x-koordinaten øverst og y-koordinaten nederst. $$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$$ Når man tegner en vektor ind i et koordinatsystem, er det lige meget, hvor man starter. Så længe pilen har samme længde og retning, er det den samme vektor. Her er eksempler på nogle vektorer med koordinater angivet Ensrettede og modsatrettede vektorer To vektorer, der er parallelle og har samme retning, kaldes ensrettede, mens to parallelle vektorer med hver sin retning kaldes modsatrettede. Nulvektoren og egentlige vektorer Den vektor, der har koordinaterne (0, 0) kaldes for nulvektoren $$\overrightarrow{0}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$ Nulvektoren har samme start- og slutpunkt.
Vektor mellem to punkter live
- Hvordan kan jeg opdatere min telefon-HUAWEI Android-opdatering|HUAWEI Support Danmark
- Vektor mellem to punkter train
- Løve apoteket horsens
- Rejse til de kanariske øer de
- Dansk marine service kolding
- Borgen sæson 1
- Hvad er sous vide
- Kom ind i sproget e bog
- Lån og spar odense 2
Altså kan man sige, at $$|AB|=|\overrightarrow{AB}|$$ Her betyder venstresiden "længden af linjestykket mellem A og B" og højresiden betyder "længden af vektor AB". For at finde afstanden mellem to punkter kan vi altså bruge formlen for længden af en vektor, hvor vi indsætter koordinaterne for vektor AB. $$|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$$ Hvis man vil finde afstanden mellem punkterne (1, 2) og (5, 3) er den $$|AB|=\sqrt{(5-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\approx4, 123$$ Videolektion
Den har derfor ingen længde. Alle vektorer, der ikke er nulvektoren, kaldes for egentlige vektorer. Stedvektor Hvis man er givet et punkt i planen, kan man tegne en vektor fra origo (punktet (0, 0)) hen til punktet. Denne vektor kaldes punktets stedvektor. Den betegnes med $$\overrightarrow{OA}$$ Stedvektoren til et punkt har samme koordinater som punktets koordinater. $$A=(a_1, a_2)\quad\Leftrightarrow \quad\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\\$$ Tværvektor Hvis man har en vektor, kan man danne dens tværvektor. Tværvektoren har samme længde som den oprindelige vektor, men er drejet 90° mod urets retning. Tværvektoren betegnes med at sætte en lille "hat" (dvs "^") ovenpå vektoren. Tværvektorens koordinater fås ved at bytte om på den oprindelige vektors koordinater og sætte et minus foran første koordinaten. $$\hat{\overrightarrow{a}}=\begin{pmatrix}-a_2\\a_1\end{pmatrix}$$ Tværvektoren til en vektor a kaldes tit for "a hat", og det at finde tværvektoren kaldes tit "at hatte a".
Vi skal her forbinde punkter i et koordinatsystem med vektorer. Figuren her viser altså en vektor, der er fastlagt ved de 2 punkter \(A\) og \(B\). \(\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}\) Vektorens koordinater bestemmes ved at trække \(A\)'s koordinater fra \(B\)'s. Vi kan også bestemme afstanden mellem de 2 punkter \(A\) og \(B\). Afstanden 2 punkter er nemlig lig med længden af vektoren, der forbinder punkterne. Dvs. \(|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\) Afstandsformlen Afstanden mellem 2 punkter \(A(a_1, a_2)\) og \(B(b_1, b_2)\) findes ved: \(|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\) Ved hjælp af formlen kan vi altså beregne afstanden mellem 2 punkter i et koordinatsystem eller længden af en vektor. Lad os tage et eksempel. Vi ønsker at bestemme afstanden mellem \(A(2, 5)\) og \(B(6, 9)\) findes ved: \(|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(9-5)^2}\) \(=\sqrt{16+16}\) \(=\sqrt{32}\) Lad os som det næste indtegne en trekant \(ABC\) ind i et koordinatsystem. Ud fra vinkelspidsernes koordinater kan vi beregne koordinaterne til de 3 vektorer \(|AB|=\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(|BC|=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) \(|AC|=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}\) Læg nu mærke til, at \(|AB|+|BC|=|AC|\) Det ses altså her, at der er præcis sammenhæng mellem geometrien samt beregningerne.
De øvrige beviser overlades til læseren. Du skal logge ind for at skrive en note
Man betegner længden af en vektor som $$|\overrightarrow{a}|$$ Man finder længden af en vektor ved følgende formel $$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$ Formlen er let at udlede ved hjælp af Pythagoras' læresætning. Vi har en retvinklet trekant. $$|a_1|^2+|a_2|^2=|\overrightarrow{a}|^2$$ Bemærk at stregerne omkring a 1 og a 2 betyder "numerisk værdi", mens stregerne omkring vektor a betyder "længde". Dette skyldes at a 1 og a 2 bare er tal, mens vektor a er en vektor. Hvis man tager numerisk værdi af et tal og sætter det i anden, så får man det samme som hvis man bare havde sat tallet selv i anden (fordi minus gange minus giver plus, og plus gange plus giver plus). Derfor kan vi omskrive til: $$a_1^2+a_2^2=|\overrightarrow{a}|^2$$ Nu er der bare tilbage at tage kvadratroden på begge sider, så har man formlen for længden af en vektor. Hvis man vil finde længden af vektoren $$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$$ så er den $$|\overrightarrow{a}|=\left|\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$ Afstandsformlen Når man vil bestemme afstanden mellem to punkter, så er det det samme som at finde længden af vektoren mellem de to punkter.
Du skal logge ind for at skrive en note Vi skal se, at vektorer i koordinatsystemet kan forsynes med koordinater. Derved skabes en sammenhæng mellem vektorer og bl. a. linjens ligning. I koordinatsystemet betegnes enhedspunkterne med E og F, dvs. E (1, 0), F (0, 1). De vektorer, der er udspændt af begyndelsespunktet O og enhedspunkterne, kaldes basisvektorerne og betegnes og (fig. 1. 18), dvs. Altså er Vi definerer, at har koordinatsættet (eller blot koordinaterne) ( a 1, a 2). Vi skelner mellem punkters og vektorers koordinater og vælger derfor at skrive vektorers koordinater lodret: På fig. 20 er vist en række vektorer og deres opløsninger som summer af vektorer parallelle med akserne. Vektorers addition og subtraktion samt multiplikation med et tal overføres til deres koordinater. For vektorerne og gælder, at Vi nøjes med at vise reglen for addition. Efter definitionen på koordinater er Vi lægger sammen og bruger regnereglerne for multiplikation med tal: og da koefficienterne til og i det sidste udtryk netop er vektorens koordinater, er formlen vist.